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假设$C\subset {\mathbb{R}}^n$ 是凸集。设$x_i\in C$ 且${\theta }_i\ge 0,{\sum }_{i=1}^{\infty }{\theta }_i=1$。证明如果$x={\sum }_{i=1}^{\infty }{\theta }_i{x}_i$收敛，那么$x\in C$。

证：

1.对扩展到无穷和的合理性说明：

凸集对于有限个点的定义表明，对于任意两个点$x,y\in C$以及任意实数α满足$0\le \alpha \le 1$，有$\alpha x+(1-\alpha )y\in C$。对于有限个点$x_1,x_2,\cdots ,x_k\in C$ 以及非负的${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k$且 ${\sum }_{i=1}^k{\theta }_i=1$，

那么${\sum }_{i=1}^k{\theta }_i{x}_i\in C$。现在考虑无穷和的情况。由于${\sum }_{i=1}^{\infty }{\theta }_i{x}_i$收敛，对于任意给定的$\epsilon >0$，存在一个整数N，使得对于所有的$m，n>N$，有$\Vert {\sum }_{i=1}^m{\theta }_i{x}_i-{\sum }_{i=1}^n{\theta }_i{x}_i\Vert <\epsilon$。这表明部分和序列是一个柯西序列。在${\mathbb{R}}^m$ 中，柯西序列收敛。设$s_n={\sum }_{i=1}^n{\theta }_i{x}_i$。因为每个$s_n$ 都是$C$ 中各点的凸组合，所以对于所有的n，$s_n$都属于C。我们可以认为极限$x={\lim }_{n\to \infty }{s}_n$可以被C中的元素任意逼近。

2. 对凸集的闭性的澄清：

在像${\mathbb{R}}^n$这样的有限维空间中，如果一个凸集包含它的所有极限点，那么它就是闭集。这是因为在有限维赋范空间中，一个集合是闭集当且仅当它是完备的。由于${\mathbb{R}}^n$是完备的，并且凸集$C\subset {\mathbb{R}}^n$是由一组线性不等式定义的，所以可以证明C是闭半空间的交集，因此是闭集。

3. 更严格地处理收敛性：

因为我们已经证明了部分和序列$s_n$收敛到$x$，并且每个$s_n\in C$。现在，由于$C$是闭集，它包含它的所有极限点。因此，$x$作为序列$s_n$的极限，必然属于$C$。

结论:

综上，可以得出结论，如果$x=\sum _{i=1}^{\infty }{\theta }_i{x}_i$在集合$C$中收敛，那么$x$一定属于$C$。

解题思路：

设定与前提：

假设集合$C$是实数集${\mathbb{R}}^n$的一个凸集。

给定任意$x_i$属于C，且存在${\theta }_i\ge 0$，满足$\sum {\theta }_i=1$。

考虑凸集的性质：

凸集C的定义是：对于$C$中的任意两点x和y，以及任意实数$\alpha$（$0\le \alpha \le 1$），都有$\alpha x+(1-\alpha )y$也属于$C$。

由此，我们可以推断出，对于C中的任意有限个点$x_i$和满足$\sum {\theta }_i=1$的非负实数${\theta }_i$，点$x=\sum {\theta }_i\ast x_i$也必然属于$C$。

收敛性的分析：

假设序列 { x n } \{x_n\} {xn​}= { ∑ θ i ∗ x i n } \{∑θ_i * x_i^{n}\} {∑θi​∗xin​}（其中$x_i^n$是C中的点，且${\theta }_i$满足上述条件）收敛于$x$。

由于每个$x_i^n$都属于$C$，且$C$是凸集，因此每个$x_n$也都属于$C$。

利用凸集的闭包性质：

凸集$C$不仅是凸的，还是闭的（在有限维空间中，凸集总是闭的）。

这意味着，如果序列 { x n } \{x_n\} {xn​}在$C$中收敛，那么其极限点$x$也必然属于$C$。

得出结论：

综合以上分析，我们可以得出结论：如果$x=\sum {\theta }_i\ast x_i$在集合$C$中收敛，那么$x$必然属于$C$。

分析：

这个证明的关键在于理解凸集的性质，特别是凸集的闭包性质。由于凸集在有限维空间中总是闭的，因此我们可以利用这一性质来推断收敛序列的极限点也属于凸集。此外，凸集的定义也为我们提供了判断点是否属于凸集的有效方法。

英文原始内容：

Suppose $C\subset {\mathbb{R}}^n$ is convex. Let $x_i\in C$ and ${\theta }_i\ge 0,{\sum }_{i=1}^{\infty }{\theta }_i=1$. Show that if $x={\sum }_{i=1}^{\infty }{\theta }_i{x}_i$ converges, then $x\in C$.

Proof:

Let $C\subset {\mathbb{R}}^n$ be a convex set. Let $x_i\in C$ and ${\theta }_i\ge 0$, such that ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\theta }_i=1$.

1. Justification for extending to infinite sums:

The definition of convexity for a finite number of points states that for any two points $x,y\in C$ and any real number $\alpha$ with $0\le \alpha \le 1$, we have $\alpha x+(1-\alpha )y\in C$. For a finite set of points $x_1,x_2,\dots ,x_k\in C$ and non-negative ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_k$ with ${\sum }_{i=1}^k{\theta }_i=1$, it follows that ${\sum }_{i=1}^k{\theta }_i{x}_i\in C$. Now, consider the infinite sum case. As the sum ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\theta }_i{x}_i$ converges, for any given $\epsilon >0$, there exists an integer $N$ such that for all $m,n>N,\Vert {\sum }_{i=1}^n{\theta }_i{x}_i-{\sum }_{i=1}^m{\theta }_i{x}_i\Vert <\epsilon$. This shows that the sequence of partial sums is a Cauchy sequence. In ${\mathbb{R}}^n$, Cauchy sequences converge. Let $s_n={\sum }_{i=1}^n{\theta }_i{x}_i$. Since each $s_n$ is a convex combination of points in $C$ and hence belongs to $C$ for all n, we can think of the limit $x={\lim }_{n\to \infty }{s}_n$ as being approximated arbitrarily closely by elements in $C$.

2. Clarification on closure of convex sets:

In finite-dimensional spaces like ${\mathbb{R}}^n$ , a convex set is closed if it contains all its limit points. This follows from the fact that in a finite-dimensional normed space, a set is closed if and only if it is complete. Since ${\mathbb{R}}^n$ is complete and a convex set $C\subset {\mathbb{R}}^n$ is defined by a collection of linear inequalities, it can be shown that C is an intersection of closed half-spaces, and hence is closed.

3. Handling convergence more rigorously:As we have shown that the sequence of partial sums $s_n$ converges to x, and each $s_n\in C$. Now, since C is closed, it contains all its limit points. Therefore, x, being the limit of the sequence { s n } \left\{s_n\right\} {sn​}, must belong to C.

Conclusion:In summary, we can conclude that if x=${\sum }_{i=1}^{\infty }{a}_i{x}_i$ converges in the set C, then x must belong to C.