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一、树是什么？

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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1.2 树的基本术语

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为2，B的度为3，D的度为0。

树的度：一棵树中，在所有结点中度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为3。

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：D,E,F,H节点为叶结点。

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点，B是D、E、F的父节点。

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点。

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A。

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4。

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林。

树有些像我们的文件存储，一个文件下有不同的文件目录，一层一层的。

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二、二叉树

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 树为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

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2.2 特殊的二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1个 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点。

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)。

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。
   

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1)上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
   若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
   

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二叉树的存储有两种，一个是链式存储一个顺序存储，根据之前的学习我们不难理解这两种存储的区别，我们这里是用链式存储，便于理解和学习，更加直观。

三、二叉树的遍历

遍历的实现运用的是递归的思想

public static class MyTreeNode{int val;MyTreeNode left;MyTreeNode right;public MyTreeNode(int val) {this.val = val;}}private MyTreeNode root;//简单组建出一个二叉树便于使用和理解public MyTreeNode createBinaryTree(){MyTreeNode node1 = new MyTreeNode(1);MyTreeNode node2 = new MyTreeNode(2);MyTreeNode node3 = new MyTreeNode(3);MyTreeNode node4 = new MyTreeNode(4);MyTreeNode node5 = new MyTreeNode(5);MyTreeNode node6 = new MyTreeNode(6);root = node1;node1.left = node2;node1.right = node3;node2.left = node4;node2.right = node5;node3.left = node6;return root;}

3.1 深度优先遍历

从树的某个初始节点开始，沿着一条路径尽可能深地探索下去，直到无法继续或者达到目标节点，然后回溯到上一个未完全探索的分支点，继续探索其他分支，直到遍历完所有节点。

3.1.1 前序遍历

访问的顺序为—根，左，右

在我们向下遍历树的时候，在遇到这个节点时就将其打印，然后再向左遍历，左边遍历完，再向右遍历。

void preOrder(MyTreeNode root){if(root == null){return;}System.out.print(root.val + " ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}

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3.1.2 中序遍历

访问的顺序为—左，根，右

在我们向下遍历树的时候，在遇到这个节点时先不打印，然后向左遍历，左边遍历完，返回到这个节点时再打印然后向右遍历。

void inOrder(MyTreeNode root){if(root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);}

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3.1.3 后序遍历

访问的顺序为—左，右，根

在我们向下遍历树的时候，在遇到这个节点时先不打印，然后向左遍历，左边遍历完，然后向右遍历最后右边返回到父亲节点时再打印父亲节点。

void postOrder(MyTreeNode root){if(root == null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val + " ");}

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3.2 广度优先遍历

从树的某个初始节点开始，首先访问该节点的所有邻接节点（对于树来说就是子节点），然后再依次访问这些邻接节点的邻接节点，按照层次依次向外扩展，直到遍历完所有节点。

3.2.1 层序遍历

运用队列的知识，首先将根节点放入队列中，然后开始循环出队列的队头节点，出的同时打印它的val，并且判断是否有左右孩子，如果有就放入队列中。

void levelOrder(MyTreeNode root){if(root == null){return;}Queue<MyTreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()){MyTreeNode node = queue.poll();System.out.print(node.val+" ");if(node.left != null){queue.offer(node.left);}if(node.right != null){queue.offer(node.right);}}}

四、二叉树的基本操作

4.1 获取树中节点的个数

public void size(MyTreeNode root){if(root == null){return;}nodesize++;size(root.left);size(root.right);}

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4.2 获取叶子节点的个数

// 获取叶子节点的个数public int getLeafNodeCount(MyTreeNode root){if (root == null){return 0;}if(root.right == null && root.left == null){return 1;}return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);}

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4.3 获取第K层节点的个数

// 获取第K层节点的个数public int getKLevelNodeCount(MyTreeNode root,int k){if(root == null){return 0;}if(k == 1){return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}

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4.4 获取二叉树的高度

// 获取二叉树的高度int getHeight(MyTreeNode root){if(root == null){return 0;}return Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right))+1;}

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4.5 检测值为value的元素是否存在

// 检测值为value的元素是否存在MyTreeNode find(MyTreeNode root, int val){if(root == null){return null;}if(root.val == val){return root;}MyTreeNode left = find(root.left,val);if(left != null){return left;}MyTreeNode right = find(root.right,val);if(right != null){return right;}return null;}

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4.6 判断一棵树是不是完全二叉树

boolean isCompleteTree(MyTreeNode root){if(root == null){return true;}Queue<MyTreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()){MyTreeNode node = queue.poll();if(node == null){break;}queue.offer(node.left);queue.offer(node.right);}while (!queue.isEmpty()){MyTreeNode node = queue.poll();if(node != null){return false;}}return true;}

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五、二叉树的例题

例题1 检查两颗树是否相同

public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {if(p == null && q != null){return false;}if(p != null && q == null){return false;}if(p == null && q == null){return true;}if(p.val == q.val){isSameTree(p.left,q.left);return isSameTree(p.left,q.left)&&isSameTree(p.right,q.right);}return false;}

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例题2 另一颗树的子树
这题和上面那题类似，只是我们要遍历那棵被主树，然后判断对应子树是否和要判断的树相同

//检查两颗树是否相同public boolean isSameTree(MyTreeNode p, MyTreeNode q) {if(p == null && q != null){return false;}if(p != null && q == null){return false;}if(p == null){return true;}if(p.val == q.val){isSameTree(p.left,q.left);return isSameTree(p.left,q.left)&&isSameTree(p.right,q.right);}return false;}public boolean isSubtree(MyTreeNode root, MyTreeNode subRoot) {if(root == null){return false;}if(subRoot == null){return true;}if(isSameTree(root,subRoot)){return true;}if(isSubtree(root.left,subRoot)){return true;}if(isSubtree(root.right,subRoot)){return true;}return false;}

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例题3 翻转二叉树

public TreeNode invertTree(TreeNode root) {if(root == null){return null;}TreeNode tmp = root.left;root.left = root.right;root.right = tmp;invertTree(root.left);invertTree(root.right);return root;}

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例题4 判断一颗二叉树是否是平衡二叉树。

public boolean isBalanced(MyTreeNode root) {if(root == null){return true;}if(Math.abs(getHeight(root.left) - getHeight(root.right)) > 1){return false;}if(isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right)){return true;}return false;}
private int getHeight(MyTreeNode root){if(root == null){return 0;}return Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right))+1;}

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例题5 对称二叉树

public boolean isSymmetric(MyTreeNode root) {if(root == null){return true;}return isSymmetricLeftAndRight(root.left,root.right);}private boolean isSymmetricLeftAndRight(MyTreeNode rootLeftTree, MyTreeNode rootRightTree){if(rootLeftTree == null && rootRightTree != null){return false;}if(rootLeftTree != null && rootRightTree == null){return false;}if(rootLeftTree == null){return true;}if(rootLeftTree.val != rootRightTree.val){return false;}return isSymmetricLeftAndRight(rootLeftTree.left,rootRightTree.right)&&isSymmetricLeftAndRight(rootLeftTree.right,rootRightTree.left);}

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例题6 二叉树的遍历

import java.util.Scanner;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
class TreeNode{char val;TreeNode left;TreeNode right;public TreeNode(char val) {this.val = val;}}
//这个类是为了确保字符串的下标，即在每次调用时，可以刷新i的值，
//同时可以让i的值在每次调用后正常使用，如果直接用public static int i的话main方法中
//while (in.hasNextLine()) { // 注意 while 处理多个 case
//        }无法刷新i的值，相当于全局变量，会出现上一次我i到了5下标，这次还是从5下标开始的问题。
class Cur{int i;
}
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);// 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别while (in.hasNextLine()) { // 注意 while 处理多个 caseCur cur = new Cur();String str = in.nextLine();TreeNode treeNode = createTree(str,cur);inOrder(treeNode);}}private static TreeNode createTree(String str,Cur cur){TreeNode root = null;if(str.charAt(cur.i) != '#'){root = new TreeNode(str.charAt(cur.i));cur.i++;root.left = createTree(str,cur);root.right = createTree(str,cur);}else{cur.i++;}return root;}private static void inOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);}
}

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例题7 二叉树的层序遍历

public List<List<Integer>> levelOrder2(MyTreeNode root) {List<List<Integer>> listout = new ArrayList();Queue<MyTreeNode> queue = new LinkedList();if(root == null){return listout;}queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()){int size = queue.size();List<Integer> listin = new ArrayList();while(size != 0){MyTreeNode cur = queue.poll();listin.add(cur.val);if(cur.left != null){queue.offer(cur.left);}if(cur.right != null){queue.offer(cur.right);}size--;}listout.add(listin);}return listout;}

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例题8 二叉树的最近公共祖先

public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {if(root == null){return null;}if(root == p || root == q){return root;}TreeNode leftNode = lowestCommonAncestor(root.left,p,q);TreeNode rightNode = lowestCommonAncestor(root.right,p,q);if(leftNode == null && rightNode == null){return null;}if(leftNode == null){return rightNode;}if(rightNode == null){return leftNode;}return root;}

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例题9 从前序与中序遍历序列构造二叉树

class Solution {int preIndex;//定义一个成员变量，在类中充当全局变量来记录前序遍历的位置public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {return buildTreeMethod(preorder,inorder,0,inorder.length -1);}private TreeNode buildTreeMethod(int[] preorder,int[] inorder,int begin,int end){if(begin > end){//如果开始位置大于结束位置说明是空的return null;}TreeNode root = new TreeNode(preorder[preIndex]);//rootIndex是为了标中序遍历中对应的前序遍历的节点，从而分数组的左右部分int rootIndex = findTheNode(inorder,begin,end,preorder[preIndex]);preIndex++;//让前序遍历的数组往后走root.left = buildTreeMethod(preorder,inorder,begin,rootIndex-1);root.right = buildTreeMethod(preorder,inorder,rootIndex+1,end);return root;}private int findTheNode(int[] inorder,int begin,int end,int val){for(int i = begin;i <= end;i++ ){if(val == inorder[i]){return i;}}return -1;}
}

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例题10 从中序与后序遍历序列构造二叉树

class Solution {public int postIndex;public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {postIndex = postorder.length-1;return buildTreeMethod(inorder,postorder,0,inorder.length-1);}private TreeNode buildTreeMethod(int[] inorder, int[] postorder,int begin,int end){if(begin > end){return null;}TreeNode root = new TreeNode(postorder[postIndex]);int rootIndex = findTheNode(inorder,begin,end,postorder[postIndex]);postIndex--;root.right = buildTreeMethod(inorder,postorder,rootIndex + 1,end);root.left = buildTreeMethod(inorder,postorder,begin,rootIndex -1);return root;}private int findTheNode(int[] inorder,int begin,int end,int val){for(int i = begin ;i <= end;i++) {if(inorder[i] == val) {return i;}}return -1;}
}

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例题11 根据二叉树创建字符串

class Solution {public String tree2str(TreeNode root) {if(root == null){return null;}StringBuffer stringBuffer = new StringBuffer();return tree2strMethod(root,stringBuffer).toString();}private StringBuffer tree2strMethod(TreeNode root,StringBuffer stringBuffer){stringBuffer.append(root.val);if(root.left != null){stringBuffer.append('(');tree2strMethod(root.left,stringBuffer);stringBuffer.append(')');}else{if(root.right != null){stringBuffer.append("()");}else{return stringBuffer;}}if(root.right != null){stringBuffer.append('(');tree2strMethod(root.right,stringBuffer);stringBuffer.append(')');}else{return stringBuffer;}return stringBuffer;}
}

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这后面的三个题很简单，就是将前序后序中序遍历放入一个顺序表中
例题12 二叉树前序非递归遍历实现

    List<Integer> list = new ArrayList<>();public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null){return list;}list.add(root.val);preorderTraversal(root.left);preorderTraversal(root.right);return list;}

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例题13 二叉树中序非递归遍历实现

class Solution {List<Integer> list = new ArrayList<>();public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null){return list;}inorderTraversal(root.left);list.add(root.val);inorderTraversal(root.right);return list;}
}

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例题14 二叉树后序非递归遍历实现

List<Integer> list = new ArrayList<>();public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null){return list;}inorderTraversal(root.left);list.add(root.val);inorderTraversal(root.right);return list;}

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总结

本篇文章介绍了有关数据结构中《二叉树》相关的内容，包括什么是树，什么是二叉树，二叉树的遍历，以及遍历的模拟实现，还有关于二叉树的例题，如果有什么不正确、不严谨的地方，还望指正，谢谢大家！