2024年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目C题农作物的种植策略
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根据乡村的实际情况，充分利用有限的耕地资源，因地制宜，发展有机种植产业，对乡村经济 的可持续发展具有重要的现实意义。选择适宜的农作物，优化种植策略，有利于方便田间管理，提 高生产效益，减少各种不确定因素可能造成的种植风险。
某乡村地处华北山区，常年温度偏低，大多数耕地每年只能种植一季农作物。该乡村现有露天 耕地1201亩，分散为34个大小不同的地块，包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地4种类型。平旱 地、梯田和山坡地适宜每年种植一季粮食类作物；水浇地适宜每年种植一季水稻或两季蔬菜。该乡 村另有16个普通大棚和4个智慧大棚，每个大棚耕地面积为0.6亩。普通大棚适宜每年种植一季蔬 菜和一季食用菌，智慧大棚适宜每年种植两季蔬菜。同一地块（含大棚）每季可以合种不同的作物。 详见附件1。
根据农作物的生长规律，每种作物在同一地块（含大棚）都不能连续重茬种植，否则会减产； 因含有豆类作物根菌的土壤有利于其他作物生长，从2023年开始要求每个地块（含大棚）的所有土 地三年内至少种植一次豆类作物。同时，种植方案应考虑到方便耕种作业和田间管理，譬如：每种 作物每季的种植地不能太分散，每种作物在单个地块（含大棚）种植的面积不宜太小，等等。2023 年的农作物种植和相关统计数据见附件2。
整体分析: 这道题目围绕农作物种植策略展开,要求建立数学模型来优化乡村的种植方案,以实现经济效益最大化。题目涉及多个复杂因素,包括不同类型的耕地、多种农作物、种植季节、产量、成本、销售价格等。问题逐步深入,从静态情况到动态变化,再到考虑不确定性和风险,最后还需要考虑作物间的相互关系。这是一个典型的多目标优化问题,需要综合考虑经济效益、资源约束、风险管理等多个方面。解决这个问题需要运用线性规划、动态规划、蒙特卡罗模拟等多种数学建模方法。
请建立数学模型，研究下列问题：
问题1假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于2023年保持 稳定，每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超过部 分不能正常销售。请针对以下两种情况，分别给出该乡村2024~2030年农作物的最优种植方案，将 结果分别填入result1_1.xlsx和result1_2.xlsx中（模板文件见附件3）。
（1）超过部分滞销，造成浪费；
（2）超过部分按2023年销售价格的50%降价出售。
问题1分析: 这个问题假设了一个相对稳定的环境,主要关注如何在给定条件下实现利润最大化。关键在于如何分配有限的耕地资源,选择最优的作物组合和种植面积。需要考虑的约束条件包括耕地总面积、不同类型耕地的适种作物、作物轮作要求、最小种植面积等。目标函数应该是总利润,即总收入减去总成本。
对于两种不同的滞销情况,可以采用线性规划模型来求解。可以设置决策变量为每种作物在每个地块的种植面积,约束条件包括耕地面积限制、作物轮作要求等,目标函数为总利润。对于滞销造成浪费的情况,可以在模型中加入产量上限约束;对于降价出售的情况,则需要在目标函数中考虑不同价格的影响。
求解这个问题可以使用单纯形法或内点法等线性规划算法。考虑到问题的规模和复杂性,可能需要使用一些高效的优化软件,如CPLEX或Gurobi。同时,由于需要考虑多年的种植方案,可能还需要结合动态规划的思想,确保每年的方案都满足轮作等长期约束。
问题2根据经验，小麦和玉米未来的预期销售量有增长的趋势，平均年增长率介于5%~10% 之间，其他农作物未来每年的预期销售量相对于2023年大约有±5%的变化。农作物的亩产量往往会 受气候等因素的影响，每年会有±10%的变化。因受市场条件影响，农作物的种植成本平均每年增长 5%左右。粮食类作物的销售价格基本稳定；蔬菜类作物的销售价格有增长的趋势，平均每年增长5% 左右。食用菌的销售价格稳中有降，大约每年可下降1%~5%，特别是羊肚菌的销售价格每年下降幅 度为5%。
请综合考虑各种农作物的预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格的不确定性以及潜在的种 植风险，给出该乡村2024~2030年农作物的最优种植方案，将结果填入result2.xlsx中（模板文件见 附件3）。
问题2分析: 这个问题引入了不确定性,使得问题变得更加复杂和现实。需要考虑预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格的变化,这些因素都有不同程度的不确定性。此外,还需要考虑潜在的种植风险,这可能包括极端天气、病虫害等因素的影响。
解决这个问题可以考虑使用随机规划或鲁棒优化的方法。可以将不确定因素建模为随机变量,使用蒙特卡罗模拟生成大量场景,然后求解每个场景下的最优方案,最后综合得出一个平均最优或风险最小的方案。另一种方法是使用鲁棒优化,将不确定性建模为一个不确定集,然后求解在最坏情况下仍然表现良好的方案。
在具体实施中,可以考虑使用情景树方法来构建多阶段决策模型,每一年的决策都基于之前年份的结果和新的不确定信息。同时,可以引入风险度量,如条件风险价值(CVaR),来控制整体风险。求解这样的模型可能需要使用更复杂的算法,如随机梯度下降或遗传算法等启发式方法。
问题3在现实生活中，各种农作物之间可能存在一定的可替代性和互补性，预期销售量与销 售价格、种植成本之间也存在一定的相关性。请在问题2的基础上综合考虑相关因素，给出该乡村 2024~2030年农作物的最优种植策略，通过模拟数据进行求解，并与问题2的结果作比较分析。
这个问题进一步增加了复杂性,要求考虑农作物之间的可替代性和互补性,以及预期销售量与销售价格、种植成本之间的相关性。这使得问题变成了一个更加复杂的非线性优化问题,需要更加精细的建模和更强大的求解方法。
针对这个问题,可以考虑使用系统动力学模型来捕捉各种因素之间的复杂关系。可以建立一个包含多个子系统的模型,如生产子系统、市场子系统、经济子系统等,然后通过反馈循环和时间延迟来模拟这些子系统之间的相互作用。例如,可以用弹性系数来描述不同作物之间的替代关系,用协同效应来描述互补性。
在求解方面,可以考虑使用多目标优化方法,如帕累托最优化,来平衡经济效益、风险控制、资源利用等多个目标。具体实现可以使用进化算法,如NSGA-II(非支配排序遗传算法II),来生成一系列非支配解,然后根据决策者的偏好选择最终方案。同时,可以使用敏感性分析来评估不同因素对最终结果的影响,这有助于识别关键因素和潜在风险。
附件1乡村现有耕地和农作物的基本情况
附件2 2023年乡村农作物种植和相关统计数据
附件 3 须提交结果的模板文件（result1」.xlsx，result1_2.xlsx，result2.xlsx）
下面是具体的建模
问题一要求我们针对乡村2024-2030年的农作物种植进行最优化规划，这是一个典型的多期决策优化问题。我们需要在考虑多种约束条件的情况下，最大化乡村的总体经济效益。首先，我们需要充分理解题目给出的各项条件和约束。乡村拥有不同类型的耕地，包括露天耕地和大棚，每种类型的耕地适合种植特定的作物或作物组合。同时，我们还需要考虑作物轮作的要求，即每个地块三年内至少种植一次豆类作物，以及不能连续重茬种植同一作物的限制。此外，为了方便耕种作业和田间管理，我们还需要考虑作物种植的集中性和最小种植面积的要求。
在建立模型时，我们需要将这些约束条件转化为数学表达式。决策变量将是每年每种作物在每个地块上的种植面积。目标函数是七年内的总利润最大化，这需要考虑每种作物的产量、销售价格和种植成本。对于产量超过预期销售量的情况，我们需要分别考虑两种情况：一是超出部分完全滞销造成浪费，二是超出部分以50%的价格出售。这两种情况将导致目标函数的差异。
考虑到问题的复杂性和多期特性，我们可以采用多阶段随机规划模型来解决这个问题。这种模型能够有效地处理多期决策问题，并且可以通过引入随机变量来模拟未来的不确定性。虽然问题一假设了各项参数在未来七年保持稳定，但使用多阶段随机规划模型可以为后续问题的扩展提供良好的基础。
在我们的模型中，每一个阶段代表一年的种植决策。决策变量是每年每种作物在每个地块上的种植面积。状态变量包括累积利润、每个地块的种植历史（用于确保轮作要求）等。转移函数描述了如何从一年的状态转移到下一年的状态，这包括利润的累积、种植历史的更新等。
目标函数是最大化七年的总利润。约束条件包括土地面积限制、作物轮作要求、最小种植面积要求、产量与销售量的关系等。对于超出预期销售量的部分，我们需要在模型中引入额外的变量来处理两种不同的情况。
下面我们给出多阶段随机规划模型的数学表达式：
决策变量：
xijt
表示第t年在地块i上种植作物j的面积
状态变量：
Pt
表示到第t年为止的累积利润
Hijt
表示地块i在第t年是否种植了作物j（0或1）
参数：
ai
表示地块i的面积
yj
表示作物j的亩产量
pj
表示作物j的销售价格
cj
表示作物j的种植成本
sj
表示作物j的预期销售量
M
表示一个足够大的数
目标函数：
maxt=17i=1Nj=1M(pjmin(yjxijt,sj)-cjxijt)+0.5pjmax(yjxijt-sj,0)
约束条件：
土地面积约束：
j=1Mxijt≤ai,∀i,t
作物轮作约束：
τ=t-2tHijτ≥1,∀i,t≥3,j∈豆类作物
Hijt+Hij,t+1≤1,∀i,j,t
最小种植面积约束：
xijt≥mjHijt,∀i,j,t
xijt≤MHijt,∀i,j,t
状态转移方程：
Pt=Pt-1+i=1Nj=1M(pjmin(yjxijt,sj)-cjxijt)+0.5pjmax(yjxijt-sj,0)
Hijt=1,if xijt>00,otherwise
在这个模型中，目标函数表示七年的总利润。第一项pjmin(yjxijt,sj)
表示正常销售的收入，第二项cjxijt
表示种植成本，第三项0.5pjmax(yjxijt-sj,0)
表示超出预期销售量部分以50%价格销售的收入。
土地面积约束确保每个地块的种植面积不超过其总面积。作物轮作约束确保每三年至少种植一次豆类作物，且同一作物不能连续种植。最小种植面积约束确保如果决定种植某种作物，其面积不能小于一个最小值，这里使用了大M方法来处理这个约束。
状态转移方程描述了如何从一年的状态转移到下一年的状态。累积利润的更新考虑了正常销售收入、种植成本和超出部分的降价销售收入。种植历史的更新使用了一个indicator函数，如果种植面积大于0则记为1，否则记为0。
为了求解这个复杂的多阶段随机规划模型，我们可以采用拉格朗日松弛迭代算法。这种算法通过将难以处理的约束条件转化为目标函数的惩罚项，从而简化问题的求解过程。具体步骤如下：
首先，我们将难以处理的约束条件，如作物轮作要求和最小种植面积要求，通过拉格朗日乘子法加入到目标函数中。这样，原问题就转化为一个带有惩罚项的无约束优化问题。然后，我们通过迭代的方式来更新拉格朗日乘子和决策变量。在每次迭代中，我们首先固定拉格朗日乘子，求解无约束优化问题得到新的决策变量；然后固定决策变量，更新拉格朗日乘子。这个过程不断重复，直到达到收敛条件或达到最大迭代次数。
在每次求解无约束优化问题时，我们可以使用动态规划方法。由于问题具有多阶段特性，我们可以从最后一年开始，逐年向前求解最优决策。在这个过程中，我们需要考虑当前决策对未来年份的影响。
为了处理产量超过预期销售量的两种情况，我们在模型中引入了额外的决策变量来表示超出部分的处理方式。在第一种情况下，超出部分的价值直接计为零；在第二种情况下，超出部分以50%的价格计算收益。
2024高教社杯数学建模竞赛A题B题C题D题E题完整论文和全部问题的完整代码，论文包括摘要、问题重述、问题分析、模型假设、符号说明、模型的建立和求解（问题1模型的建立和求解、问题2模型的建立和求解、问题3模型的建立和求解等等）、模型的评价等等
