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之前学习了使用围线积分法（留数法）和部分分式展开法计算z逆变换，

《数字信号处理》学习08-围线积分法（留数法）计算z 逆变换-CSDN博客

《数字信号处理》学习09-部分分式展开法计算z 逆变换-CSDN博客 

接下来我继续学习第三种计算z逆变换的方法：幂级数展开法（长除法）。

目录

1，长除法（幂级数展开法）的相关概念

2，多项式除法的运算 

3，使用长除法计算z逆变换（结合一道习题）

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1，长除法（幂级数展开法）的相关概念

根据z变换的定义：

是关于的幂级数。

将上式幂级数展开：

可以看到，在z 复变量之前的系数就是需要求的原序列 。

长除法：一般情况下，是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，可以直接用分子多项式除以分母多项式，先得到幂级数展开式，再得到所求的原序列。

2，多项式除法的运算 

 看到长除法运算概念的我想起以前学过的与之类似的多项式除法。多项式的相关运算如下 👇

 ，求 多项式 A。

 // 一个因数等于积除以另外一个因数。 

//  列除法竖式。需要注意的是， 项的次数必须要完整，例如，中间少了以一次项  ，需要补上，即最终的被除数需要写成：

// 第①步，被除数最高次的项  除以除数最高次的项 ，得到商的第一个项  (退一位写)

 // 除数乘商，得到新的被除数： （顶格写）

 //旧的被除数减去新的被除数 ，得余数 ，余数再加上下一个项，得到新的被除数 

// 第②步， 将新的被除数的最高次项 除以除数 的最高次项 ，得到商的第二项 

//  商乘除数得到新的被除数

// 接着用旧的被除数减去新的被除数，得到余数，，余数再加上下一个项，得到新的被除数 

// 第③步，新的被除数的最高次项  除以除数的最高此项   ，得到商的第三项 

//  商乘除数得到新的被除数，旧的被除数减去新的被除数得到余数0。当被除数的最高次项次数小于等于除数的最高次项次数时，多项式除法结束计算。

所以多项式

3，使用长除法计算z逆变换（结合一道习题）

z变换的收敛域是极其需要关注的一个点，因为不同序列的z变换可能相同，而唯一能够区分这些序列的关键点就是它们不同的z变换收敛域。

对于长除法来说，也必须要考虑收敛域的范围，才能唯一地确定原序列

 z逆变换中的长除法和多项式除法的运算基本一样，唯一不同就是在z逆变换中需要考虑到收敛域，即需要判断序列是左边序列还是右边序列。

当z变换的收敛域为时，原序列为右边序列，被除数和除数（即分子和分母中的多项式）排列顺序不变。例如：

，在使用长除法时，列出来的除法竖式如下：

当z变换的收敛域为时，原序列为左边序列，被除数和除数（即分子和分母中的多项式）排列顺序需要倒过来。

例如：

，在使用长除法时，列出来的除法竖式如下：

 习题1：

使用长除法计算z逆变换，求象函数的原序列

解：

// 先将式子中z变量的指数变成正数，分子分母同时乘，式子大小不变，题目式子变为如下：

 化简 

∵ 该z变换的收敛域为 ，右边序列，且为因果序列，因此分子分母顺序不变

//  值得注意的是，右边序列全称为右边无限长序列，因此，进行长除法时很难写成闭合的形式。

∴ // 列出除法竖式（与上面讲过的多项式除法类似的运算过程，这里不再赘诉）：

 ∵ 通过列竖式可得

//  z复变量前的系数就是

∴ 

 // 通过观察并找规律，可以看到，原序列是以公比为  的等比数列求和：

∵  

∴ 

学习了长除法计算z逆变换的相关知识之后，现在我已经知道了三种计算z逆变换的方法。

整体而言，我还是比较喜欢用留数法计算z逆变换（只要自己用得方便就行）。

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