本文将带领大家了解MATLAB中常用的信号处理函数，包括滤波函数、单位抽样响应函数、频率响应函数和零极点增益函数，并展示如何绘制相关的图像。
离散系统的一般表示方法，一个N阶的离散系统函数可表示为
其差分方程可表示为
将上述公式分子项系数依次从小到大排列成一个行矩阵b，分母项系数依次从小到大排列成一个行矩阵a (其中a0=1)，则根据b、a可唯一确定离散系统。
1、filter 滤波函数
filter 函数用于对信号进行滤波处理，它可以实现IIR（无限冲击响应）和FIR（有限冲击响应）滤波器的直接形式。
函数定义：
y = filter(b, a, x)
参数说明：
- b : 滤波器的分子系数，对应于差分方程的当前输入和输出的系数。
- a : 滤波器的分母系数，对应于差分方程的前馈输入的系数。对于FIR滤波器，a通常是一个元素为1的向量。
- x : 输入信号，可以是向量、矩阵或多维数组。如果x是矩阵，filter按列对x的每一列进行滤波。
代码示例：
% 假设的滤波器系数
b = [1, -0.5, 0.25]; % FIR滤波器系数
a = [1]; % FIR滤波器分母系数，对于FIR滤波器，a为1
% 输入信号
fs = 1000; % 采样频率
t = 0:1/fs:1-1/fs; % 时间向量
f = 5; % 信号频率
x = sin(2*pi*f*t); % 生成正弦波信号
% 滤波处理
y = filter(b, a, x);
% 绘制原始信号和滤波后的信号
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, x);
title('原始信号');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');
subplot(2, 1, 2);
plot(t, y);
title('滤波后的信号');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');
2、单位抽样响应函数
单位抽样响应（Unit Sample Response）是指滤波器对单位抽样信号（也称为单位脉冲信号或狄拉克δ函数）的响应。
单位抽样响应函数通常用于分析和理解线性时不变（LTI）系统的性质。
impz 函数用于计算并绘制数字滤波器的单位抽样响应，这是分析滤波器特性的一个重要工具。
函数定义：
[h, t] = impz(b, a, n, Fs)
参数说明：
- b : 滤波器的分子系数，对应于差分方程的当前输入和输出的系数。
- a : 滤波器的分母系数，对应于差分方程的前馈输入的系数。对于FIR滤波器，a通常是一个元素为1的向量。
- n : 输出响应的点数。如果未指定，则默认为足够长的长度以展示整个响应。
- Fs : 采样频率，如果指定了Fs，则t将表示时间轴上的点。
代码示例：
% 假设的滤波器系数
b = [0.05 0.1 0.05];% IIR滤波器分子系数
a = [1 -0.5 0.2];% IIR滤波器分母系数
% 计算单位抽样响应
[h, t] = impz(b, a, 50);% 请求50个点
% 绘制单位抽样响应
figure;
stem(t, h);
title('单位抽样响应');
xlabel('样本');
ylabel('幅度');
3、频率响应函数
频率响应描述了系统对不同频率输入的响应。
freqz 函数用于计算并绘制数字滤波器的频率响应。
函数定义：
[h, w] = freqz(b, a, n, Fs)
参数说明：
- b : 滤波器的分子系数，对应于差分方程的当前输入和输出的系数。
- a : 滤波器的分母系数，对应于差分方程的前馈输入的系数。对于FIR滤波器，a通常是一个元素为1的向量。
- n : 用于计算频率响应的点数。默认值为512，但可以根据需要指定不同的值。
- Fs : 采样频率，用于将频率轴的单位转换为Hz。如果未指定，频率轴将显示为归一化频率（范围从0到π，对应于0到Nyquist频率）。
代码示例：
% 假设的滤波器系数
b = [0.2 0.1 0.3 0.1 0.2]; % FIR滤波器分子系数
a = [1]; % FIR滤波器分母系数
% 采样频率
Fs = 2000; % 采样频率为2000Hz
% 计算频率响应
[h, w] = freqz(b, a, 1024, Fs); % 使用1024个点计算频率响应
% 绘制幅度和相位响应
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(w, 20*log10(abs(h)));
title('幅度响应 (dB)');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('幅度 (dB)');
subplot(2, 1, 2);
plot(w, angle(h) * (180/pi)); % 将弧度转换为度
title('相位响应 (度)');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('相位 (度)');
4、零极点增益函数
零极点增益形式是系统函数的另一种表示方法，它描述了系统的零点、极点和增益。
对于离散系统而言，系统的零/极点及增益参数能够确切地反映出系统的因果性、稳定性等关键特性。在进行系统分析与设计时，常常需要计算其零/极点和增益参数。
matlab中可以直接使用zplane函数来画出系统的零极点图，也可以先使用root函数来计算系统的零/极点，再用zplane函数来绘制。
（1）roots 函数
函数定义：
r = roots(p)
参数说明：
- p: 多项式系数的向量，其中最高次项的系数是第一个元素。
代码示例：
% 假设的滤波器系数
b = [1 2 3]; % IIR滤波器分子系数
a = [1 -0.5 0.2]; % IIR滤波器分母系数
% 计算零点和极点
z = roots(b);
p = roots(a);
% 绘制零极点图
figure;
zplane(z, p);
% 添加标题和标签
title('零极点图');
xlabel('实部');
ylabel('虚部');
（2）zplane 函数（绘制零极点图）
zplane 函数用于绘制数字滤波器的零点和极点在复平面上的位置。这个函数可以直观地显示滤波器的稳定性以及零点和极点对频率响应的影响。
函数定义1：
zplane(z, p)
参数说明：
- z: 零点的向量。
- p: 极点的向量。
如果需要，还可以指定增益：
zplane(z, p, k)
- k: 增益因子。
代码示例：
% 使用roots函数计算零点和极点
z = roots(b); % 计算零点
p = roots(a); % 计算极点
% 使用zplane函数绘制零极点图
figure;
zplane(z, p); % 绘制零极点图
% 添加标题和标签
title('零极点图');
xlabel('实部');
ylabel('虚部');
函数定义2：
zplane(b, a)
参数说明：
- b: 滤波器的分子系数，即差分方程中的当前输入和输出的系数。
- a: 滤波器的分母系数，即差分方程中的前馈输入的系数。
代码示例：
% 假设的滤波器系数
b = [1 2 3]; % IIR滤波器分子系数
a = [1 -0.5 0.2]; % IIR滤波器分母系数
% 绘制零极点图
figure;
zplane(b, a);
% 添加标题和标签
title('零极点图');
xlabel('实部');
ylabel('虚部');
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