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代价函数的选择与任务类型（回归、分类等）以及模型的具体目标密切相关。

回归任务中的代价函数

均方误差（Mean Squared Error, MSE）

• 公式:
  $$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$
  其中， $y_i$是真实值， ${\hat{y}}_i$是预测值，m是样本数量。
• 特点：
  • 对误差平方，放大了较大的误差，适用于预测准确度要求高的场景。
  • 对异常值较为敏感。

平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）

• 公式:
  $$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m|y_i-{\hat{y}}_i|$$
• 特点：
  • 对异常值不敏感。
  • 相比MSE，优化时导数在零点处不连续，可能导致收敛较慢。

Huber损失

• 公式:
  $$L(y,\hat{y})=\{\begin{array}{llc}\frac{1}{2}(y-\hat{y}{)}^2,& \mathrm{if}|y-\hat{y}|\le \delta & \\ \delta \cdot |y-\hat{y}|-\frac{{\delta }^2}{2},& \mathrm{if}|y-\hat{y}|>\delta & \end{array}$$
• 特点：
  • 结合了 MSE 和 MAE 的优点。
  • 对异常值具有一定鲁棒性。

分类任务中的代价函数

对数损失（Log Loss, 或称交叉熵损失）

• 公式（用于二分类）：
  $$J(\theta )=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left[y_i\log ({\hat{y}}_i)+(1-y_i)\log (1-{\hat{y}}_i)\right]$$
• 特点：
  • 用于分类任务中，衡量模型预测的概率与真实类别标签的吻合程度。
  • 对错误分类的惩罚较高。

平方误差损失

• 尽管平方误差通常用于回归任务，但也可以用于分类问题（主要用于标签数值化的场景）。
• 缺点：相对于交叉熵损失，对分类问题不敏感，收敛速度较慢。

Hinge 损失（用于支持向量机, SVM）

• 公式
  $$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\max (0,1-y_i{\hat{y}}_i)$$
  其中， y i ∈ { − 1 , 1 } y_i\in\{-1,1\} yi​∈{−1,1} 是真实标签， ${\hat{y}}_i$ 是预测值。
• 特点：
  • 用于支持向量机分类。
  • 通过最大化分类边界间隔，提高分类的鲁棒性。

非监督学习中的代价函数

K-Means 损失函数

• 公式
  $$J=\sum _{i=1}^k\sum _{x\in C_i}\Vert x-{\mu }_i{\Vert }^2$$
  其中， $C_i$是第i个聚类簇， ${\mu }_i$是该簇的中心。
• 特点：
  • 用于聚类任务，目标是最小化样本到其所属簇中心的平方距离。

自编码器的重建误差

• 公式:
  $$J(\theta )=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\Vert x_i-{\hat{x}}_i\Vert }^2$$
  其中，$x_i$是原始输入， ${\hat{x}}_i$是重建输出。
• 特点：
  • 用于衡量模型重建输入数据的能力。