思维短路-做梦梦见无理数的无穷级数以及民科话题

昨天做梦，梦见回到学校边，在垃圾桶里捡到一个的趣味数学卡片，上面写着一些常见无理数的无穷级数表示。在梦里我突然觉得，自己大脑短路，参透了世界的本质？！结果梦醒了，啥也记不起来，只记得感觉有高维空间、漩涡、黑洞……反正就民科附体，这里记录一下。

1. 卡片内容

1.1 圆周率的级数表示

$$\pi =4\times \left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots \right)=4\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$$

$$\frac{{\pi }^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$$

1.2 自然指数/对数的级数表示

$$e=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n},|x|<1.$$

$$\ln (x)=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\frac{(x-1{)}^4}{4}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{(x-1{)}^n}{n},|x-1|<1$$

1.3 三角函数的级数表示

$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

1.4 欧拉公式

$$e^{jx}=\cos (x)+j\sin (x)$$

2 讨教AI，这里有什么本质的东西？

1. 如果把上述cos,sin的级数带入欧拉公式，就会发现欧拉公式、复平面、级数之间的巧妙和完美。cos, sin各占一半，奇偶、正负是如此对称。

2. 如果把pi带入，就会得到双层的级数表示，有幂和阶乘。讨论这种级数的收敛性，已经超过我的大脑的能力。有兴趣的话，用前10项写个C程序验证一下就算了。

我试着问C知道，pi级数的几何意义，回答如下：

圆周率π是一个非常著名的常数，其值大约等于3.14159，它在几何学中代表了一个圆的周长与其直径的比例。π不仅在平面几何中有重要作用，在三维几何乃至整个数学中都有广泛的应用。从无穷级数的角度探讨π的几何意义，我们可以从以下几个方面入手：

2.1 正弦级数

其中一个经典的表达π的方式是通过正弦函数的泰勒级数展开。考虑到单位圆上点的位置可以通过角度θ（弧度制下）确定，并且在单位圆内，sin(θ)表示y坐标。特别地，我们知道sin(π/2)=1。因此，π可以从正弦函数的周期性和最大值的角度来理解：

$$\sin (\theta )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{\theta }^{2n+1}$$

当θ取π时，上式变为：

$$\sin (\pi )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{\pi }^{2n+1}=0$$

这里，π作为x轴上点的一个特殊角度对应的正弦值，表明了在单位圆中，当x轴方向前进π的距离时，回到了原点的对称位置。这一特性体现了π在描述圆形运动和旋转中的几何意义。

2.2 阿贝尔级数

阿贝尔级数是另一种表达π的方式，比如欧拉公式：

$$e^{i\pi }+1=0$$

其中，e是自然对数的底数，i是虚数单位。这个等式巧妙地将π与e、1和虚数单位联系在一起。在这个等式中，π代表着复平面上的四分之一圆周，即单位圆上半部分的一段长度。

2.3 洛朗级数和复分析

更深层次上，π出现在洛朗级数中，尤其是在复分析领域。例如，黎曼ζ函数在s=-1时的值为ζ(-1) = -1/12，而ζ(s)在s=2处的值与π的平方之倒数有关，即ζ(2) = π² / 6。这说明π在连接整数和复数的世界中扮演着重要的角色，特别是在解析连续性和特殊函数的性质上。

2.4 几何构造

从古希腊时期开始，π就与几何构造紧密相连。古希腊哲学家认为能够使用直尺和圆规作图的图形具有特殊的美。然而，他们发现不可能用这些简单的工具精确地画出一个边长为一单位长度的正方形与边长为两单位长度的正方形面积相等的正方形（即π等于根号二乘以根号二，但实际上π是一个超越数，不可用有理数表示）。

2.5 总结

总的来说，π不仅是圆周长与直径之比，还贯穿于数学的各个分支中，从基本的几何形状到复杂的复数理论，以及物理世界的许多现象中都能找到它的身影。无穷级数是探究π这一奇妙常数的一种有力工具，它们揭示了π在数学世界中的深刻内涵和广泛联系。

3 AI创作

问讯飞星火：创作一个画，表示自然指数e和圆周率的深层次关系

看到这个，我怀疑自己本身是不是还在做梦。

4 猜测：复平面蕴含着非常深邃的东西

4.1 关于Pi 和黑洞的梦

有没有注意到上述pi第一类级数里的项都是正负交替的？直觉是导致正负交替的一个最常见的计算就是 $j^n$。

圆周率级数的尾巴延伸无穷远处的小项，总让我脑海里出现幻想：

在一个实轴X、虚轴Y构成的复平面上，位置T= {$0.25\pi$,0}处，有一个质点，把复平面给压凹了. 此时，一个绕着T旋转的小球，以一个速度通过了(1,0)点，由于存在阻力，当它再次回到X轴时，坐标已经变成了 ($1-\frac{1}{3}$,0)，再下一次是 ($1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}$,0)，直到小球坠入T点为止。此时，小球的坐标就是pi/4.

当然，上图是示意图，真实的螺线方程我也不知道。上面这个我是分段线性拟合的，和梦里的星系、黑洞很像。

如果Z轴是流淌的时间，也可以理解小球的轨迹是以一定螺距不断收紧的空间螺旋线. 所以，这个pi的公式或许和黑洞吞噬物体还能扯上关系呢。梦里我就是看到了这个黑洞，觉得自己快被吞进去了。

4.2 关于 e 与排列组合的梦

$$e=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$

上一次用到阶乘，还是在计算全排列问题。老王兜里有5个球，每次取出1个，取出12345的概率就是 1/5!

在梦里，有一个捡破烂的老头告诉我，他在宇宙的田园时代的高维空间里研究坐标系的等价形式，像我们研究三维坐标系交换x,y,z有6种顺序，即xyz xzy zxy zyx yzx yxz，但是他在10维空间，要研究10！种情况。他说e代表了在空间集合里搜索最佳结果的极限概率，但我不知道这个“最佳结果”是个什么。

题外话

上午我把这个想法告诉了爱人和儿子，他们坚持认为我应该尽快去医院。