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Lipschitz条件

定义

函数 $f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$满足 Lipschitz 条件，当且仅当存在常数 $L\ge 0$，使得对任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in D$，有：

$$\Vert f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})\Vert \le L\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$$

此时称 (f) 是 Lipschitz 连续 的，(L) 为 Lipschitz 常数。

例题使用

陈纪修第十一章第二节第十二题

已知二元函数 ( f(x,y) ) 在开集 ( D \subset \mathbb{R}^2 ) 内对于变量 ( x ) 是连续的，对于变量 ( y ) 满足 Lipschitz 条件：
$$|f(x,y^{\prime })-f(x,y^{\prime \prime })|\le L|y^{\prime }-y^{\prime \prime }|$$
其中 $(x,y^{\prime }),(x,y^{\prime \prime })\in D$，$L$ 为常数。证明：
$$f(x,y)\text{ 在 }D\text{ 上连续}$$
$\text{Solution:}$

证明：

任取 ((x_0, y_0) \in D)，对任意 (\varepsilon > 0)：

由$f(x,y)$ 关于$x$连续，对固定的 $y_0$，存在 ${\delta }_1>0$，当$|x-x_0|<{\delta }_1$时，
$$|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\frac{\epsilon }{2}.$$

由 $f(x,y)$关于 $x$连续，对固定的$y_0$，存在${\delta }_1>0$，当 $|x-x_0|<{\delta }_1$ 时，
$$|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\frac{\epsilon }{2}.$$

由 $y$满足 Lipschitz 条件，取 ${\delta }_2=\frac{\epsilon }{2L}$，当 (|y - y_0| < \delta_2) 时，
$$|f(x_0,y)-f(x_0,y_0)|\le L|y-y_0|<\frac{\epsilon }{2}.$$

取 δ = min ⁡ { δ 1 , δ 2 } \delta = \min\{\delta_1, \delta_2\} δ=min{δ1​,δ2​}，当 $|x-x_0|<\delta$ 且 $|y-y_0|<\delta$ 时，
$$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\le |f(x,y)-f(x_0,y)|+|f(x_0,y)-f(x_0,y_0)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$

故 $f(x,y)$在 $D$上连续。

Folland《Real Analysis》2nd，第 108 页，37 题}

设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$，$M>0$。证明：$f$ 是以 $M$ 为 Lipschitz 常数的 Lipschitz 连续函数的充要条件是 $f$ 绝对连续且 $|f^{\prime }|\le M$ 几乎处处成立。

• 证明 绝对连续
  已知$f$ 是 $M$-Lipschitz 连续的，即对于任意的 $x,y\in \mathbb{R}$，有 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$。

对于任意给定的 $\epsilon >0$，取 $\delta =\frac{\epsilon }{M}$。设 $\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^n$ 是任意有限个互不相交的开区间，且 ${\sum }_{i=1}^n(y_i-x_i)<\delta$。则
$$\sum _{i=1}^n|f(y_i)-f(x_i)|\le \sum _{i=1}^{n}M|y_i-x_i|<M\delta =\epsilon$$
根据绝对连续函数的定义可知，(f) 是绝对连续的。

• 证明 $|f^{\prime }|\le M$ a.e.

因为 $f$是 Lipschitz 连续的，所以 $f$ 是几乎处处可导的。对于几乎处处的 $x\in \mathbb{R}$，由 Lipschitz 条件可知，对于任意的 $h\ne 0$，有
$$\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|\le M$$
根据导数的定义 $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
对上述不等式两边同时取极限 $h\to 0$，可得 $|f^{\prime }(x)|\le M$ 对于几乎处处的 $x\in \mathbb{R}$ 成立。

综上，$f$ 是以 $M$ 为 Lipschitz 常数的 Lipschitz 连续函数当且仅当 $f$ 绝对连续且 $|f^{\prime }|\le M$ 几乎处处成立。