核心本质
自下而上建堆，每次都从下往上一排一排的调根节点，每个根节点最大往下调h次（小于logn）。而自下而上每次最大调logn
为什么自下而上建堆（Heapify）的时间复杂度是 ( O(n) )，而自上而下建堆是 ( O(n \log n) )？
要理解这个问题，我们需要分析两种方法的操作方式和涉及的计算次数。
1. 自上而下建堆（逐个插入）
过程
- 从空堆开始，依次插入 ( n ) 个元素。
- 每次插入一个元素后，需要执行 上浮（sift-up） 操作，以维持堆的性质。
复杂度分析
- 最坏情况下，每次插入都要沿着堆的高度向上调整，最坏情况下的调整次数是 树的高度 ( O(\log n) )。
- 总共 ( n ) 个元素，每次插入时都可能执行 ( O(\log n) ) 次调整。
所以，总时间复杂度为：
[
O(n \log n)
]
2. 自下而上建堆（Heapify）
过程
- 直接把所有 ( n ) 个元素放入数组，视为一个无序的完全二叉树。
- 从最后一个非叶子节点开始（索引 ( \lfloor n/2 \rfloor )），向下调整（即执行 下沉（sift-down）），直到根节点。
复杂度分析
- 叶子节点不需要调整，只需调整非叶子节点，即前 ( \lfloor n/2 \rfloor ) 个节点。
- 某层的节点数：完全二叉树的第 ( h ) 层（从底部算起）有 ( 2^h ) 个节点。
- 某层的下沉操作 最多执行 ( h ) 次，因为最多需要从该层到根部进行调整。
现在，我们计算总的调整代价：
[
T(n) = \sum_{h=0}^{\log n} \left( \text{该层的节点数} \times \text{该层的最大调整次数} \right)
]
[
T(n) = \sum_{h=0}^{\log n} \left( \frac{n}{2^{h+1}} \times h \right)
]
近似计算：
- 最高的层数 ( \log n ) 处的节点数量最多，但下沉步数很小。
- 最下层的节点数量较少，但可能要执行最多 ( \log n ) 级的操作。
数学上可以证明：
[
T(n) \approx 2n
]
最终时间复杂度是 ( O(n) )，比 ( O(n \log n) ) 更优。
3. 为什么 Heapify 复杂度更低？
- Heapify 利用了树的结构，批量进行下沉调整，而不是每次插入时都调整整个树。
- 大部分节点在较低层，它们的调整代价低，不像逐个插入方法，每个元素都可能要上浮到根部。
4. 直观理解
- 自上而下建堆 就像 逐个插入元素，每个元素的调整都可能涉及整个树的高度，导致 ( O(n \log n) ) 复杂度。
- 自下而上建堆 先处理低层的大量元素，调整范围小，只有少数元素需要大幅调整，优化了整体计算，使其降低到 ( O(n) )。
结论
自下而上建堆比自上而下建堆更快，因为：
- 它减少了调整的次数，特别是对于较低层的元素，它们的下沉操作所需的步数远少于自上而下方法的上浮操作。
- 数学分析表明 Heapify 复杂度为 ( O(n) )，比插入式建堆的 ( O(n \log n) ) 复杂度更优。
所以，在实际应用中，自下而上建堆是标准的方法，因其更快且更高效！
