解法：二维前缀和+双指针
代码：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll prefix[505][505], a[250010];
int main()
{ll n, m, k, ans = 0; cin >> n >> m >> k;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++){cin >> prefix[i][j];prefix[i][j] += prefix[i-1][j] + prefix[i][j-1] - prefix[i-1][j-1];//cout << prefix[i][j] << endl;}//for(int i = 1; i < n*m; i++) cout << prefix[i] << endl; for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= i; j++){for(int l = 1, r = 1; r <= m; r++){while(l <= r && prefix[i][r] - prefix[i][l-1] - prefix[j-1][r] + prefix[j-1][l-1] > k) l++;if(l <= r) ans += r-l+1; //每一次循环，以r为区间，r每次必++}}cout << ans;return 0;
}
代码解释：
这段代码的核心是计算满足条件的子矩阵的数量。让我们逐步分析代码的逻辑，特别是你提到的 if (l <= r) ans += r - l + 1; 这一行。
代码逻辑概述
-
二维前缀和数组：
prefix[i][j]表示从矩阵的左上角(1,1)到当前位置(i,j)的子矩阵的元素和。- 通过二维前缀和，可以在常数时间内计算任意子矩阵的和。
-
目标：
- 找出所有满足条件的子矩阵数量，其中子矩阵的和不超过给定的阈值
k。
- 找出所有满足条件的子矩阵数量，其中子矩阵的和不超过给定的阈值
关键代码分析
外层循环
for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举子矩阵的上边界for (int j = i; j <= n; j++) // 枚举子矩阵的下边界
- 这两层循环枚举了所有可能的子矩阵的上下边界。
i是子矩阵的上边界，j是子矩阵的下边界。
内层循环
for (int l = 1, r = 1; r <= m; r++) // 枚举子矩阵的右边界
- 这一层循环枚举了子矩阵的右边界
r，同时用l表示子矩阵的左边界。 l和r都是从 1 开始，r逐渐向右扩展。
关键条件
while (l <= r && prefix[j][r] - prefix[j][l-1] - prefix[i-1][r] + prefix[i-1][l-1] > k) l++;
- 这一行的作用是通过滑动窗口的方式，找到满足条件的最小左边界
l。 prefix[j][r] - prefix[j][l-1] - prefix[i-1][r] + prefix[i-1][l-1]计算的是子矩阵(i, l)到(j, r)的和。- 如果当前子矩阵的和大于
k，则需要缩小窗口，即将左边界l向右移动，直到子矩阵的和不超过k。
关键更新
if (l <= r) ans += r - l + 1;
- 这一行是关键所在。
- 在前面的
while循环中，已经通过调整左边界l，使得子矩阵(i, l)到(j, r)的和不超过k。 - 如果
l <= r，说明当前窗口是有效的，即存在满足条件的子矩阵。 r - l + 1表示在当前的上下边界(i, j)和右边界r的情况下，所有可能的左边界l的数量。
举例说明
假设当前上下边界为 (i, j)，右边界为 r，左边界 l 从 1 开始：
- 如果子矩阵
(i, 1)到(j, r)的和不超过k，那么子矩阵(i, 2)到(j, r)、(i, 3)到(j, r)等等也一定满足条件。 - 因此，所有满足条件的子矩阵数量是从
l到r的所有可能的左边界数量，即r - l + 1。
总结
if (l <= r) ans += r - l + 1; 这一行的作用是：
- 在当前上下边界
(i, j)和右边界r的情况下，统计所有满足条件的子矩阵数量。 - 这些子矩阵的左边界从
l到r，数量为r - l + 1。
