特征矩阵
特征矩阵是一个二维数组或矩阵，用于表示数据集中所有样本的特征信息。在机器学习中，特征矩阵是用于模型训练的数据输入，它由所有样本的特征值组成。
解释
假设你有一个数据集，描述房屋的价格与房屋的面积和房间数之间的关系。每个房屋的信息可以用两个特征来描述：面积和房间数。那么，特征矩阵就是用这些特征来表示多个房屋样本的矩阵。
特征矩阵的形式
通常，特征矩阵记作 ( X )，其结构如下：
- 行（row）：每一行表示一个样本（或数据点）。
- 列（column）：每一列表示一个特征（或变量）。
如果我们有 ( m ) 个样本和 ( n ) 个特征，那么特征矩阵 ( X ) 的大小为 ( m × n ) (m \times n) (m×n)。
示例
假设我们有 3 个房屋样本，每个房屋用两个特征描述：
- 房屋 1：面积为 120 平方米，房间数为 3
- 房屋 2：面积为 150 平方米，房间数为 4
- 房屋 3：面积为 80 平方米，房间数为 2
特征矩阵 ( X ) 可以表示为：
X = [ 120 3 150 4 80 2 ] X = \begin{bmatrix} 120 & 3 \\ 150 & 4 \\ 80 & 2 \end{bmatrix} X= 12015080342
扩展：添加截距项
在某些线性回归模型中，我们可能会为特征矩阵添加一列全为 1 的数值，以表示截距项（bias）。这样可以用一个参数 θ 0 \theta_0 θ0来表示模型的截距。例如，上面的特征矩阵添加一列全为 1 的数值后变成：
X = [ 1 120 3 1 150 4 1 80 2 ] X = \begin{bmatrix} 1 & 120 & 3 \\ 1 & 150 & 4 \\ 1 & 80 & 2 \end{bmatrix} X= 11112015080342
总结
- 特征矩阵包含了所有样本的所有特征信息，是模型输入数据的核心部分。
- 每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。
- 它用于描述数据，并为机器学习模型提供结构化的数据格式。
截距项（也叫 偏置项 或 bias）是线性模型中的一个常数项，用于调整模型的输出，使模型能够更好地拟合数据。
截距项
截距项的作用
在一个简单的线性回归模型中，模型的公式通常写作：
y = θ 0 + θ 1 x y = \theta_0 + \theta_1 x y=θ0+θ1x
- y y y 是预测的输出。
- x x x 是输入特征。
- θ 1 \theta_1 θ1 是特征的权重或系数，表示特征 x 对 y 的影响。
- θ 0 \theta_0 θ0 是 截距项（bias），它表示当 x = 0时y 的预测值。
图形上的解释
从几何的角度来看，截距项是指直线与 ( y )-轴的交点。它决定了当输入特征值为零时，模型的输出是多少。通过调整截距项，模型可以更准确地拟合数据。例如：
- 如果没有截距项（即 θ 0 = 0 \theta_0 = 0 θ0=0），直线必须通过原点（0, 0），这可能会导致模型无法很好地描述数据关系。
- 加入截距项后，直线可以上移或下移，提供更好的拟合。
例子
- 如果你有一个线性模型 ( y = 3x + 5 )，其中 5 就是截距项。这表示当 ( x = 0 ) 时， ( y ) 的值是 5。
- 在实际数据中，很多关系并不直接通过原点，因此截距项在调整模型中非常重要。
为什么需要截距项？
截距项的存在可以帮助模型更灵活地拟合数据。没有截距项时，模型的预测会强制通过原点，可能导致较大的预测误差。通过引入截距项，模型可以更自由地调整，适应数据的整体趋势。
多特征的情形
在多元线性回归中，模型可以写作：
y = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + … + θ n x n y = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \ldots + \theta_n x_n y=θ0+θ1x1+θ2x2+…+θnxn
- θ 0 \theta_0 θ0 仍然是截距项，用来调整整体的预测值水平。
- θ 1 , θ 2 , … , θ n \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n θ1,θ2,…,θn 是对应每个特征的系数。
总结
- 截距项（bias）帮助模型调整输出，使其更好地拟合数据。
- 它允许模型在输入特征为零时，仍然可以预测非零的输出值。
- 在许多机器学习模型中，截距项是一个重要的参数，用来优化模型性能。
computeCost
这个 computeCost 函数用于计算线性回归中的代价函数（Cost Function），其目的是衡量预测值与实际值之间的差距。
参数说明
X: 输入特征矩阵，大小为(m, n)，其中m是样本数，n是特征数。X通常包含所有样本的特征，可能还包括一列全是 1 的常数列，用于表示截距项（bias）。y: 真实的输出（目标值）向量，大小为(m, 1)，表示每个样本对应的实际值。theta: 参数向量，大小为(1, n)，表示线性回归模型的参数（权重和截距项）。
解释代码
def computeCost(X, y, theta):# 计算预测值与实际值之间的误差inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2) # 计算误差的平方# 计算代价函数return np.sum(inner) / (2 * len(X)) # 取误差平方和的一半，并除以样本数
具体解释
X * theta.T: 计算预测值。X是特征矩阵，theta.T是参数向量的转置（如果theta是(1, n)，它的转置会变成(n, 1)），所以X * theta.T得到一个大小为(m, 1)的预测值向量。(X * theta.T) - y: 计算预测值与实际值之间的误差，大小仍然是(m, 1)。np.power(..., 2): 将每个误差的平方计算出来，得到误差平方向量。np.sum(inner): 计算所有误差平方的总和。(2 * len(X)): 计算样本数量的两倍，用于归一化误差平方和，使代价函数能够平均衡量每个样本的误差。np.sum(inner) / (2 * len(X)): 最后返回代价函数值，它表示模型当前参数theta下预测的误差大小。
代价函数的作用
代价函数用于评估模型预测的准确性，数值越小表示模型预测与实际值之间的差距越小，反之，代价函数值越大，模型预测效果越差。优化算法（如梯度下降）使用这个代价函数来调整 theta，以最小化预测误差。
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